Mons. Vukšić rođen je 9. siječnja 1954. u Studencima, općina Ljubuški, u Mostarsko-Duvanjskoj biskupiji. Nakon studija filozofije i teologije zaređen je za svećenika 29. lipnja 1980. te je bio župni vikar u katedrali u Mostaru (1980.-1982.). U Rimu je na Papinskom orijentalnom institutu postigao magisterij na odjelu teologija-patrologija (1984.) i potom magisterij iz kanonskoga prava na Papinskom sveučilištu Urbaniana (1986.). Nakon toga je kroz dvije godine obnašao službu tajnika biskupije u Mostaru. Vrativši se u Rim postigao je doktorat na Papinskom orijentalnom institutu (1991.).

Trideset godina je bio je profesor na Bogoslovnom fakultetu u Sarajevu (1991.-2021.), a predavao je i u Mostaru, Zagrebu i Dubrovniku. Bio je ravnatelj Teološkog instituta u Mostaru (1991.-1994.), vicerektor Bogoslovije u Sarajevu (1993.-1998.), ravnatelj Katoličke tiskovne agencije (1998.-2005.), sudski vikar biskupije Mostar-Duvno (1993.-2009.) i od 2009. generalni vikar iste biskupije. Autor je brojnih publikacija iz teologije, kanonskoga prava, povijesti Crkve i suvremenih pitanja.

Papa Benedikt XVI. je 1. veljače 2011. ustanovio Vojni ordinarijat za Bosnu i Hercegovinu i mons. Tomu Vukšića imenovao prvim vojnim ordinarijem. Za biskupa je zaređen 2. travnja 2011. Od 2012. je član Papinskoga vijeća za međureligijski dijalog. Papa Franjo ga je 22. siječnja 2020. imenovao nadbiskupom koadjutorom Vrhbosanske nadbiskupije, a 24. siječnja 2020. imenovan je apostolskim upraviteljem Vojnog ordinarijata.

U Biskupskoj konferenciji BiH je od 2015. njezin dopredsjednik te predsjednik Komisije za nauk vjere i Vijeća za medije i član Stalnoga vijeća. Predsjednik je i zajedničkoga Vijeća za inozemnu pastvu Biskupske konferencije BiH i Hrvatske biskupske konferencije.

Na mjestu vrhbosanskog nadbiskupa metropolita naslijedio je kardinala Vinka Puljića čime je postao sedmi nadbiskup od obnove redovite crkvene hijerarhije u BiH. Prije njega to su bili: Josip Stadler (1882.-1918.), Ivan Šarić (1922.-1960.), Marko Alaupović (u odsutnosti nadbiskupa Šarića upravljao nadbiskupijom kao generalni provikar i generalni vikar od 1945. do 1960., a nadbiskup bio od 1960. do 1970.), Smiljan Franjo Čekada(1970.-1976.), Marko Jozinović (1977.-1990.) i Vinko Puljić (1991.-2022.).