Vlč. Domšić rođen je u selu Vinica Belajska, u Župi sv. Petra ap., nadomak Duge Rese, u Mrežničkom dekanatu, u Zagrebačkoj nadbiskupiji, 20. veljače 1930. godine, kao šesto od osmero djece oca Mate i Katarine r. Stišćak.

Kršten je u rodnoj župi, a sakrament krizme primio je u Karlovcu. Osnovnu školu pohađao je u Dugoj Resi, a srednjoškolsko obrazovanje stekao je u Međubiskupijskom sjemeništu u Zagrebu. Prvi semestar filozofsko-teološkog studija pohađao je u Pazinu a nastavio je u Zagrebu. Školovanje je morao prekinuti zbog poziva na odsluženje vojnog roka u Prizrenu i Pirotu. U Pirotu je 10. svibnja 1953. godine uhićen i odveden u vojni istražni zatvor u Nišu.

Mons. Ivan Grah je u knjizi „Udarit ću pastira“ o uzništvu vlč. Domšića zapisao: „Jednoruki kosovac namjestio je provalu u vojno skladište za vrijeme Draganove noćne smjene stražarenja. On je te noći zamijenio stražarsko mjesto što je bio zabranjeno. Provala je bila izvršena i Dragan je zatim odveden u vojno istražni zatvor.“

Mons. Grah donosi nadalje prikaz ophođenja prema vlč. Domšiću u istražnom zatvoru, mučen je dugotrajnim mučnim ispitivanjima i boravkom u samici. Optužba ga je teretila za neprijateljsku propagandu govorom. Pošto nije uložio žalbu prebačen je u civilni zatvor izvan Niša. I ondje je trpio razna mučenja. Uprava, čuvari i zatvorski starješine napose su okrutno postupali prema ‘popovima i hodžama’, bili su redovito prozivani za najteže poslove, a morali su raditi i nedjeljom kada su drugi odmarali. Iz zatvora je otpušten 10. svibnja 1957. godine. Nakon odsluženja zatvorske kazne pozvan je ponovno u vojsku, u Celje. Zatvorsku kaznu u Nišu izdržavao je zajedno sa svećenicima Porečke i Pulske biskupije vlč. Atilijem Krajcarom i vlč. Antom Žufićem. Nakon odsluženja kazne zatražio je primanje u prezbiterij Porečke i Pulske biskupije te je zajedno sa vlč. Krajcarom i Žufićem,  za svećenika zaređen po rukama biskupa Dragutina Nežića u pulskoj katedrali Uznesenja Blažene Djevice Marije 21. kolovoza 1960. godine. Mladu misu proslavio je u Raklju 4. rujna iste godine.

Nakon mlade mise prva pastoralna služba dodijeljena mu je u mjestima Šišan i Ližnjan u Pulskom dekanatu. Dvije godine kasnije biva premješten u župe Sveti Matej Cere i Sveti Ivanac nad Rašom, a iste godine biva premješten u župe Marčana, Filipana i Loborika, te od 1978. preuzima i Kavran. Ondje ostaje do 1983. godine kada prelazi u župe Muntić i Valtura gdje ostaje tri godine, do 1986. godine. Tada prelazi u župe Grdoselo, Kršikla i Zarečje gdje ostaje do umirovljenja 2014. godine. Naredne četiri godine boravio je u Pazinskom kolegiju i dalje pomažući u pastoralnom radu u župama u kojima je prethodno službovao. Godine 2018. prelazi u Svećenički dom „Betanija“ u Puli gdje je u molitvi i čitanju provodio svoje umirovljeničke dane.

Od samog pokretanja izdavačke djelatnosti u Pazinu neumorno je surađivao s mons. Antunom Hekom, sudjelujući i kasnije u radu Izdavačke tvrtke Josip Turčinović d.o.o. Unatoč značajnim problemima s vidom, niz desetljeća iščitavao je i radio korekturu knjiga i časopisa koji su trebali biti objavljeni. Svatko tko je dolazio u Josip Turčinović zasigurno ga se sjeća kako za stolićem na ulazu uporno i marljivo s lupom iščitava tekstove, pronalazeći svaku pa i najmanju tiskarsku pogrešku, zarez ili razmak, a nerijetko je imao i lektorske opaske, napose budno pazeći na jezični izričaj. Najveća su mu nagrada bili dobri objavljeni tekstovi.

U svim župama gdje je djelovao bio je omiljen među vjernicima, uvijek blizak ljudima. U mnogim je župama u Status animarum zabilježio okolnosti pogibije svih žrtava totalitarnih režima, raspitujući se kod mještana, svjedoka, očevidaca.

Bio je spretan u iznalaženju tehničkih rješenja i nije se libio prionuti manualnom radu oko većih i manjih tehničkih popravaka, nerijetko pomažući i kolegama svećenicima. Na brojnim je crkvama u župama gdje je djelovao realizirao elektrifikaciju zvona. Izuzetno se je zalagao u obnovi sakralnih objekata, često i sam obavljajući mnoge poslove, a u te je obnove ulagao i svoja osobna sredstva. U Grdoselu je uz uređenje crkve učinio i projekt novog oltara, u obliku glagoljskog sloga ‘g’.

Bio je živahnog istraživačkog duha, i takav je ostao do kraja, a resila ga je izuzetna jednostavnost, skromnost i samozatajnost.

Misa za pokojnika bit će u utorak, 22. veljače godine u 14.30 u župnoj crkvi u Grdoselu, a nakon toga ukop na mjesnom groblju.